На площині прямі називаються паралельними, якщо у них немає спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують спеціальний значок | | (паралельні прямі a | | b).
Для прямих, що лежать в просторі, вимоги відсутності спільних точок недостатньо – щоб вони в просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони будуть перехресними).
За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті – це лінії перетину стіни зі стелею і підлогою, на зошитовому аркуші – протилежні краю тощо.
Цілком очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну одній з перших двох, вона буде паралельна і другий.
Паралельні прямі на площині пов’язані твердженням, яка не доводиться з допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіоми: для будь-якої точки на площині, не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даної.
Її просторове узагальнення легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.
Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна третьої, то вони взаємно паралельні.
Цією властивістю володіють паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обгрунтування в стереометрії.
Припустимо паралельність прямих b і з прямою a.
Випадок, коли всі прямі лежать в одній і тій же площині залишимо планіметрії.
Припустимо, a і b належать площині бетта, а гамма – площина, якій належать a і з (за визначенням паралельності в просторі прямі повинні належати одній площині).
Якщо допустити, що площині бетта і гамма різні і відзначити на прямий b з площини бетта якусь точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бетта по прямий (позначимо її b1).
Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бетта, а з іншого, вона повинна належати і з, оскільки b1 належить третьої площині.
Але ж паралельні прямі a і з перетинатися не повинні.
Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бетта і при цьому не мати спільних точок з a , отже, згідно аксіомі паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали збігається з прямою b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і з – паралельні
Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише одна єдина пряма.
Лежачі на площині перпендикулярно третьої дві прямі паралельні.
За умови перетину площини однієї з паралельних двох прямих, цю ж площину перетинає і друга пряма.
Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетином паралельних двох прямих третьою, рівні, сума у утворилися при цьому внутрішніх односторонніх дорівнює 180 °.
Вірні і зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.
Сформульовані вище властивості і ознаки являють собою умови паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше кажучи, для доказу паралельності двох наявних прямих достатньо довести їх паралельність третьої прямий або рівність кутів, будь то відповідних або навхрест лежачих, і т.п.
Для доказу в основному використовують метод «від протилежного», то є з допущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього припущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест лежачі внутрішні кути виявляються нерівними, що й доводить некоректність зробленого припущення.
Властивості паралельних прямих
Умова паралельності прямих
Комментариев нет:
Отправить комментарий